tourbillons générés par la portance de l'aile
Présentation de la suite de logiciels mecaflux:
Modelisation helice aerienne dans heliciel Modelisation helice bateau dans heliciel Modelisation helice ventilation dans heliciel Modelisation helice eolienne dans heliciel Modelisation hydrolienne dans heliciel Modelisation helice kaplan dans heliciel

Aile d' envergure finie et downwash: Théorie de la ligne portante de Prandtl

Nappe tourbillonnaire et pertes en bout d'aile schématisées dans le logiciel Heliciel :

 

Aile rectangulaire de longueur 2 mètres Allongement= 4 Finesse (Portance/Traînée) =16

Aile rectangulaire de longueur 9 mètres Allongement= 18 Finesse (Portance/Traînées) =32

   
Aile pointue de longueur 2 mètres. Allongement= 5 Finesse (Portance/Traînée) =19. Aile pointue de longueur 9 mètres. Allongement= 33 Finesse (Portance/Traînée) =36
Nous avons vu dans la page traitant des généralités sur les ailes et hydrofoils, que les traînées et portances calculées avec les cx et cz 2D sont des valeurs théoriques, ne prenant pas en compte les phénomènes tourbillonnaires. Ces phénomènes tourbillonnaires sont engendrés par la différence de pression entre l'extrados et l'intrados de l'aile:

la zone de surpression et la zonne de dépression d'une aile provoque le contournement et les pertes en bout aile

C'est la différence de pression entre l'intrados et l'extrados qui génère la portance. On peut donc en déduire que l' intensité des tourbillons Γ(gamma) évoluera en fonction de la portance.

tourbillon aile induit par la portance

Ces tourbillons modifient la trajectoire du fluide autour de l'aile et induisent des composantes de vitesses dirigées vers le bas. Les Vitesses induites par les tourbillons varient suivant la distance et l' intensité des tourbillons.

vitesse induites downwash

Le calcul des vitesses induites par les tourbillons, permet de redéfinir l'angle d'attaque effectif des différentes zones (éléments) de l'aile. L'angle d'attaque effectif permet finalement d' utiliser les performances 2D pour calculer les forces de portance (dL) et de traînée (dD) prenant en compte les phénomènes tourbillonnaires. Ces vitesses induites par les tourbillons varient suivant la portance et la distance du bout de l'aile. On calculera donc ce phénomène pour chaque élément de notre aile ou pale.
Variation de l'angle effectif généré par la Vitesse induite au niveau du profil d' un élément.

vitesses et angles ailes envergure finie

Comment calculer les vitesses induites et l'angle effectif déterminant les performances réelles de notre aile?
Théorie de la ligne portante de Prandtl: Ludwig Prandtl à développé la première méthode permettant l' analyse d'une aile d' envergure finie en 1918 en assimilant tous les filaments tourbillonnaires attachés a une aile a un seul filament nommé "Ligne portante". Les lois et théorèmes définissant les tourbillons permettent un calcul des vitesses induites:

 

Portance(2D)(en Newtons)= Cz . surface élément . r . V²/2

tourbillons aile

Dans la réalité, lorsque l'aile est en vol, le "tourbillon départ a l' infini aval" est suffisamment éloigné de l'aile pour négliger les vitesses induites qu'il provoque sur l'aile car la vitesse induite par un tourbillons varie comme l' inverse de la distance a l'axe du tourbillon. On ne considère donc que les tourbillons libres marginaux et leurs vitesses induites descendante perçue par l'aile. Les tourbillons libres marginaux sont définis comme semi infini car il commencent au bout de l' élément et se prolongent à l' infini aval.
 

systeme tourbillonnaire

Système de tourbillon en fer a cheval, d' intensité constante (Γ) équivalente a la portance générant des vitesses induites descendantes.

upwash et downwash vitesses induites

Posons le point P dans le système des 2 tourbillons en fer a cheval ou la vitesse induite est produite par les 2 tourbillons libres. Le point A est situé en -b/2 et +b/2 et le point P sur l'axe y. La vitesse induite en fonction de la position en y est composée de 2 termes:
  1. Le terme -Γ/[4p(b/2+y)] représentant la contribution du tourbillons situé au point A avec y=-b/2
  2. Le terme -Γ/[4p(b/2-y)] représentant la contribution du tourbillons situé A avec y=b/2

vitesse induites fer a cheval

Qui donnent l' expression de la vitesse induite en fonction de la position y pour un système tourbillonnaire isolé.:
  • w(y) = -Γ/[4p(b/2+y)] -Γ/[4p(b/2+y)]
  • équivalent à :w(y) = -Γ/(4p) .{b/[(b/2)²-y²]}
Dans cette dernière expression des vitesses induites pour un seul système tourbillonnaire isolé, lorsque la position de y s' approche d' une extrémité (y=b/2 ou y=-b/2), la vitesse induite tend vers moins l' infini. Ce qui ne peut pas correspondre à un représentation réaliste de l'aile d' envergure finie. pour remédier a cela Prandtl amène le concept de ligne portante:
Le premier théorème de Helmotz définissant les lois du mouvement tourbillonnaire stipule que l' intensité Γd'un tourbillon isolé est constante et équivalente a la portance. Une variation de la portance (donc de l' intensité Γ) ne peut pas être représentée par un système de tourbillon isolé. Variation de la portance, donc de l' intensité tourbillonnaire sur une aile:

distribution portance

Le premier théorème de Helmotz indique que la variation de portance sur une aile (donc d' intensité tourbillonnaire) ne peut se faire que si des filaments tourbillonnaires d' intensité égale à la variation d' intensité s' ajoutent ou quittent l'aile:

separation filaments tourbillonnaires

Un système de tourbillons superposés permet de représente la variation d' 'intensité tourbillonnaire associée à la portance d'une aile. En chaque point de l'aile ou se produit une variation de portance, un tourbillon d' intensité égale à la variation de portance se forme.

ligne portante

Dans la réalité cette nappe de tourbillons se formant sur les bords de fuite se combine ,

tourbillons effectif

pour former les deux tourbillons marginaux parfois visibles:tourbillons aile Mais la variation de portance et d' intensité étant continue et progressive sur l'aile, le nombre de tourbillons en fer a cheval , d' intensité dΓsuperposés sur la ligne portante décrivant la variation d' intensité est infini.

ligne portante

  • l' Intensité élémentaire dΓdu tourbillon en fer a cheval correspondant au segment de ligne portante [dy] positionné a y sur la figure ci dessus est donnée par : dΓ= (deltaΓ/delta y).dy
  • le tourbillon libre d' intensité dΓva induire une vitesse dw au point y0:
    en utilisant la loi de biot savart définissant la vitesse induite par un tourbillon semi infini:

vitesse induite tourbillons semi fini

 

ou l'on remplace :
  • Γpar (deltaΓ/delta y).dy, et h par y0-y
on obtient la vitesse induite élémentaire au point y0 produite par le tourbillon libre d' intensité dΓpassant par y :
  • dw= - {(deltaΓ/delta y).dy}/{4p.(y0-y)}
La vitesse totale induite en y0 par l'integralité de la couche tourbillonnaire libre de -b/2 à b/2 correspond à:
  • w(y0) = -1/(4p) (- +b/2) {(deltaΓ/delta y)/(y0-y)}.dy

aile envergure fini vitesse et angles

L'angle d'incidence induite ai est donc : αi(y0)=atan[-w(y0) / V∞]

 

( références:"Aérodynamique subsonique" de mr Ion Parashivoiu aux éditions de l' école polytechnique de Montréal).
Vous trouverez aussi une description de la théorie de la ligne portante de Prandtl sur le site de mr : j.haertig
http://j.haertig.free.fr/aerodyn_theorique/index.html et notamment ce document pdf :Théorie de la ligne portante de Prandtl