Le rendement d'une hélice, ou rendement propulsif d'une hélice propulsive est le rapport entre la puissance utile à l'avancement et la puissance cinétique qu'elle communique au fluide : Rp = 2 / (1 + V2/V0). Plus l'hélice accélère peu le fluide, meilleur est ce rendement, et c'est pourquoi une grande hélice qui brasse beaucoup de fluide à faible vitesse est plus économe qu'une petite.

Cette notion mérite une double explication : une première en équations, une seconde en texte. Elle est essentielle à la conception des hélices, mais une bonne hélice reste d'abord une hélice adaptée à son objectif. Celle d'un hélicoptère en vol stationnaire a un rendement propulsif nul (le véhicule n'avance pas) et reste pourtant une bonne hélice ; la notion sert surtout à mesurer le coût d'un déplacement en fonction de la distance parcourue.

Au sommaire :

• Le rendement propulsif en équations
• Le rendement propulsif en texte

1 : Rendement propulsif d'une hélice : équations et formule

Le rendement d'une hélice compare la puissance qu'elle produit à celle qu'on lui apporte. Pour que ce rendement ait un sens, nous devons préciser comment chaque puissance est déterminée.

La théorie de Froude des hélices de propulsion nous a donné la poussée (ou traction) de l'hélice :

T = m° × (V2 − V0)

• T : force de propulsion, en newtons ;
• m° : débit massique qui traverse l'hélice, en kg/s. Nous l'écrivons ici m° = π × ρ × r² × V2, avec ρ la masse volumique du fluide et r le rayon du jet loin en aval, où le fluide a la vitesse V2 ;
• V0 : vitesse du fluide loin en amont, égale à la vitesse d'avance du véhicule, et V2 la vitesse loin en aval, en m/s.

Le tube de courant qui traverse l'hélice se contracte en aval : le fluide passe de V0 loin en amont à V1 au disque, puis à V2 dans le jet de rayon r. La poussée T est la réaction à cette accélération.

Créer de la poussée consiste donc à augmenter la vitesse d'un débit massique de fluide. Or une puissance est le produit d'une force par une vitesse. Avec la vitesse d'avance V0 et la poussée, nous obtenons la puissance utile Pu :

Pu = T × V0 = m° × (V2 − V0) × V0

Cette puissance est celle qui intéresse le transport, car elle introduit le déplacement utile. Si le véhicule est à l'arrêt, amarré ou freins bloqués sur la piste, V0 vaut 0 et Pu aussi. Pourtant l'hélice tourne, un moteur la nourrit, et elle brasse du fluide : sa puissance n'est pas nulle. Nous devons donc la mesurer indépendamment de la vitesse d'avance.

Pour cela, nous calculons la puissance cinétique du fluide en aval, moins celle du fluide en amont. Rappelons que l'énergie cinétique vaut 1/2 × masse × vitesse² ; la puissance disponible Pd vaut donc :

Pd = 1/2 × m° × V2² − 1/2 × m° × V0²

Même si V0 est nulle, l'hélice fournit bel et bien de la puissance au fluide. Nous disposons ainsi de deux puissances, et leur rapport est le rendement propulsif Rp :

Rp = Pu / Pd = [m° × (V2 − V0) × V0] / [1/2 × m° × (V2² − V0²)]

Rp = 2 × (V2 − V0) × V0 / [(V2 − V0) × (V2 + V0)] = 2 × V0 / (V2 + V0) = 2 / (1 + V2/V0)

Cette expression est celle de la théorie idéale de Froude : elle ne compte ni la traînée des profils ni la rotation donnée au fluide. Elle montre déjà l'essentiel. Plus V2 s'écarte de V0, plus le rendement baisse, et plus nous gaspillons de l'énergie à mettre du fluide en mouvement pour rien. Lorsque l'hélice tourne véhicule arrêté, Pu est nulle et Rp aussi : le rendement propulsif varie avec la vitesse du véhicule. Quelle que soit cette vitesse, nous cherchons un écart minimal entre V0 et V2.

La poussée T = m° × (V2 − V0) peut augmenter de deux façons : en augmentant le débit massique m°, ou l'écart (V2 − V0). Nous venons de voir qu'il vaut mieux garder l'écart petit. Pour une poussée économique, nous agissons donc sur le débit massique, et le seul levier qui reste, à vitesses constantes, est le diamètre de l'hélice. Lors de la construction de notre hélice, nous surveillerons le rendement propulsif et, dans la mesure du possible, nous la voudrons la plus grande possible.

2 : Rendement propulsif d'une hélice : explication en mots

Reprenons le problème du propulseur sans équation.

• La poussée (newtons) est le produit d'une masse par une accélération (F = m × a). C'est la variation de la quantité de mouvement qui la génère.
• L'accélération est la vitesse du fluide après l'hélice moins sa vitesse avant l'hélice.
• La masse à prendre en compte est celle qui est déplacée en une seconde : le débit massique (kg/s).
• La puissance (watts) nécessaire est le produit de la poussée (newtons) par la vitesse (m/s).

Pour mesurer la qualité du propulseur, nous distinguons deux puissances en jeu :

• La puissance utile, celle du déplacement : vitesse avant l'hélice × poussée.
• La puissance cinétique produite par l'hélice, calculée d'après la variation d'énergie cinétique du fluide :
  • = énergie cinétique du fluide après l'hélice − énergie cinétique du fluide avant l'hélice ;
  • = 0,5 × masse × (vitesse derrière l'hélice)² − 0,5 × masse × (vitesse devant l'hélice)².

Pour comprendre l'utilité de ces deux puissances, imaginons un bateau amarré au quai, ou un avion freins serrés avant le décollage, dont l'hélice tourne et produit une poussée.

Un bateau amarré : l'hélice peut pousser sans que le véhicule avance.

Le véhicule est fixe, donc la vitesse est nulle et la puissance utile aussi. Pourtant la poussée et la puissance de l'hélice sont bien réelles : elle tourne, alimentée par un moteur qui consomme de l'énergie. Pour la quantifier, nous utilisons la variation d'énergie cinétique que l'hélice applique au fluide. Notons au passage que l'énergie consommée véhicule arrêté est perdue. Une bonne hélice, celle qui transporte une charge avec un minimum d'énergie, donne le maximum de puissance utile pour le minimum de puissance cinétique.

Le rendement de l'hélice est donc le rapport puissance utile / puissance cinétique. En décomposant l'accélération pour mettre en évidence le rôle des vitesses :

• Puissance utile = débit massique × (vitesse après − vitesse avant) × vitesse avant ;
• Puissance cinétique = 0,5 × débit massique × (vitesse après² − vitesse avant²).

Remarquons que la puissance utile est proportionnelle à l'écart de vitesses (V2 − V0), tandis que la puissance cinétique contient en plus le facteur (V2 + V0). L'écart de vitesses fait donc davantage croître la puissance cinétique que la puissance utile. Il faut une hélice qui crée de la poussée en changeant le moins possible la vitesse du fluide. La poussée étant le débit massique × l'accélération, mieux vaut augmenter le débit sans augmenter la vitesse. Un débit est une vitesse × une section : pour l'augmenter à vitesse constante, nous agrandissons le diamètre de l'hélice.

Plus l'hélice est grande, moins elle doit modifier la vitesse du fluide pour créer de la poussée, et meilleur est son rendement propulsif.

On peut ainsi être amené à placer les hélices le plus haut possible, pour agrandir leur diamètre tout en permettant le décollage et l'atterrissage.

Vue d'artiste d'un avion solaire de nuit, hélices portées en hauteur.

Le projet Solar Impulse vise à faire voler de façon autonome, de jour comme de nuit, un avion propulsé exclusivement à l'énergie solaire, jusqu'à effectuer un tour du monde sans carburant ni pollution.

Pour aller plus loin, nous pouvons voir les vitesses induites de la théorie de Froude, ou suivre une conception complète avec le didacticiel de conception d'une hélice d'avion.